一、新的辅助方程与非线性发展方程的孤立波解（论文文献综述）
梁建莉[1]（2021）在《关于几类非线性波方程的精确行波解研究》文中研究指明本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论,介绍了孤立子理论的发展历史,介绍了几种重要的非线性波方程的求解方法.阐明了本文的主要研究内容和研究成果.第二章介绍了与本文相关的一些基础知识,包括动力系统与微分方程,奇非线性波方程的动力系统方法.第三章研究了两个广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解,其中一个方程包含了着名的二分量Camassa-Holm方程.利用动力系统方法和奇行波方程理论,将两个方程约化为同一个平面动力系统.通过对奇异行波系统进行定性分析,画出它的相图分支,并得到了尽可能多的精确行波解,包括孤立波解、孤立尖波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解等.经过综合对比和分析,发现这些行波解的分布遵循一定的规律.第四章研究了旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解.旋转Camassa-Holm方程包含了着名的Camassa-Holm方程,是广义Camassa-Holm方程的一个特例.利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了具有五个参数的参数空间中,在不同参数条件下的相图分支问题.得到了光滑孤立波解、周期波解、孤立尖波解、周期尖波解以及破缺波解及其精确表示.另外,从每组相图中都可以清楚地看到奇直线对相图的变化及分支的产生具有很大影响.第五章研究了一类非局域流体动力学方程的分支和精确行波解.通过动力系统方法和奇行波方程理论,获得了方程的各种精确行波解,包括光滑孤立波解、不可数无穷多孤立波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解、扭波和反扭波解等.其中不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解是我们得到的新解.特别地,不可数无穷多孤立波解与一般光滑孤立波解不同.在高阶平衡点处出现的不可数无穷多同宿轨对应着不可数无穷多孤立波解,是一种非常奇特的现象.第六章研究了具有conformable分数阶导数的mKdV方程的分支和精确行波解.通过行波变换,将分数阶偏微分方程化为依赖于分数阶数α的常微分方程.然后利用动力系统方法分析相应行波系统的相图分支,得到了原系统的精确行波解,包括光滑孤立波解、周期波解、扭波与反扭波解.通过分析发现,分数阶mKdV方程的解具有一般mKdV方程解的基本形式,而且其波宽和波幅依赖于分数阶数α.第七章对本文所做工作进行总结,列出几个需进一步探讨的问题.
韩鹏飞[2]（2021）在《贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究》文中提出本文基于Hirota双线性方法与Bell多项式理论,借助计算机代数系统,对于几种高维非线性发展方程的可积性、B（?）cklund变换和守恒律等问题进行研究获得了新的成果.通过Hirota双线性方法与同宿检验方法,构造不同种类的新精确解,并分析其传播衍变特性,利用图像分析其解的运动轨迹与物理意义.同时还利用Bell多项式理论,研究了高维非线性发展方程的可积性、B（?）cklund变换和无穷守恒律等问题,给出了不同函数叠加而成的解的定理和推论及其证明.研究不同函数叠加解有助于理解非线性学科中的一些重要的物理现象.第一章介绍孤立子理论的研究背景、研究意义和研究方法,如Hirota双线性方法、Bell多项式等概念及其发展历史.第二章基于Hirota双线性方法,首先将（3+1）维广义KdV-type方程化为双线性形式,进而构造了该方程的N-孤子解、Lump解、Lump扭结解、Lump孤子解、双扭结波解、呼吸解和多波解.然后,构造了（3+1）维非线性发展方程的双线性形式和B（?）cklund变换,并获得了高阶Lump解、高阶Lump孤子N-M型叠加解和周期型叠加解.最后,利用图像分析法,分析了两种方程解的相互作用.第三章中研究了（4+1）维KdV-like方程的可积性等问题.首先利用Bell多项式方法,构造了（4+1）维KdV-like方程的双线性B（?）cklund变换、Lax对、无穷守恒律,进而证明了该方程在Lax意义下的可积性.然后,基于Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了几种新的精确解,包括高阶Lump解、高阶Lump扭结型N孤子解、高阶Lump-cosh-N-cos-M型叠加解和周期型叠加解.另外,研究了构造（4+1）维BLMP方程新精确解问题.首先给出了构造（4+1）维BLMP方程新精确解的一种定理及其证明.然后,通过定理构造了该方程的不同类型的解,得到Lump扭结波解和Lump孤立波解.最后,借助该方程的双线性形式,获得周期型叠加解与复合型叠加解,并通过选取不同的参数,分析了这些解的动力学行为.第四章中研究了三种高维变系数发展方程的求解与解的相互作用问题.首先利用含非零种子解的Cole-Hopf变换和试探函数法相结合的方法,构造了（3+1）维变系数DJKM方程的呼吸扭结波解、怪波解和三孤立波解.然后,基于Hirota双线性方法和同宿测试方法,给出了构造（3+1）维变系数BLMP方程和（2+1）维变系数BLMP-BK方程新精确解的定理、推论及其证明.另外,利用定理获得了（3+1）维变系数BLMP方程和（2+1）维变系数BLMP-BK方程不同函数叠加的新解.最后,利用解中任意函数的任意性,选取不同的函数,通过三维图和等高线图分析了这些解的动力学行为.总结与展望中对本文进行了简单的总结,并且规划了将来值得深入思考和研究的内容。
杨佼朋[3]（2020）在《高次b方程的非线性波解与分支问题研究》文中提出本文运用动力系统分支理论系统地研究了高次b方程的非线性波解与分支问题,分别获得了该方程在b=0、b>1、b<-1三种情形和特定参数条件下的分支相图,行波解的定性行为及其表达式.分析这类方程的主要难点在于方程具有高次非线性对流项,使得研究时需要更多的理论分析和数值计算,如何获得高次情形下方程的非线性波解、分支参数和分支曲线,以及如何处理方程对应行波系统中的奇性也很困难.我们利用适当的行波变换和时间尺度变换将奇异行波系统转化为一个正则系统,通过动力系统分支理论和数值方法来研究了正则系统的向量场及分支相图,再根据所作变换和正则系统的性质可得奇异行波系统的相轨线分支,最后利用相轨线探讨了该方程非线性波解的分支行为及其动力学特征,并给出了这些解的表达式.本文的主要结果如下.1.当b=0时,得到了方程对应奇异行波系统与正则行波系统所确定向量场的关系,通过相图分析发现了一些新的现象,如在特定参数情形下行波系统有无穷多闭轨道穿过奇直线并相交于两点;某些同宿轨内部没有奇点等.通过理论分析,揭示了特定情形下方程存在三种分支现象,包括孤立波与周期波、孤立波与爆破波以及双孤立波的分支.2.当b>1,k=0时,通过数值方法确定了方程所对应行波系统的分支参数以及分支曲线,得到了孤立尖波解与反孤立尖波解的分支波速,以及n为偶数时孤立尖波的最大波速,建立了不同参数条件下方程对应正则行波系统的相图分支,进一步揭示了多种非线性波解之间的关系,推广和改进了前人的某些相关结果.3.利用动力系统分支方法在b=0、b>1、b<-1三种情形下得到了方程多个非线性波解的表达式.当b=0时,给出了孤立波解、周期波解和爆破波存在的参数条件及其表达式;当b>1时,得到了孤立尖波解、反孤立尖波解、光滑孤立波和光滑周期波解的显式表达式或隐式表达式;当b<-1时,给出了周期波解存在存在的参数条件及其隐式表达式.本文主要内容分为五个部分,第一章是绪论,综述了非线性波方程和孤立波的发展历史、研究现状、主要的研究方法及某些结果,并简单介绍了本文所用到的相关理论和方法.第二章至第四章分别研究了高次b方程在b=0、b>1、b<-1三种情形下的非线性波解与分支问题,并揭示了多个非线性波解之间的关系.最后一部分是对本文研究结果进行了总结,并提出了值得进一步探索的问题.
李冰[4]（2020）在《几类非线性偏微分方程的长时间性态研究》文中研究指明本文主要研究了非线性色散方程的孤立波解的稳定性理论,适定性和散射性及一类双流体力学方程的长时间行为.全文共分为五章.第一章为综述,共分为五小节.第一节为本文的研究背景和研究进展.第二,三,四,五节分别给出了本文中研究的模型的背景和研究进展,以及所得到的主要结论.第二章研究广义Boussinesq方程孤立波解的不稳定性.广义Boussinesq方程写为（?）（t,x）∈ R × R,其中0<p<∞.该方程具有行波解φω（x-ωt）,其中频率ω∈（-1,1）并且φω满足-（?）xxφω+（1-ω2）φω-φωp+1=0.Bona和Sachs（1988）证明了当0<p<4,p/4<ω2<1时,行波解妒φω（x-ωt）是轨道稳定的.随后,Liu（1993）证明了在条件0<p<4,ω2<p/4或p>4,ω2<1下,轨道是不稳定的.对于唯一的遗留问题,即退化情形0<p<4,ω2=p/4,我们证明了孤立波解是轨道不稳定的.第三章研究广义导数非线性Schrodinger方程孤立波解的不稳定性.广义导数非线性Schrodinger方程写为#12其中1<σ<2.该方程具有如下形式的双参数孤立波解uω,c（t,x）=eiωt+ic/2（x-ct）-2 2（?）φω,c2σ（y）dyφω,c（x-ct）.频率区间|c|<2（?）上的稳定性理论已经被Liu,Simpson和Sulem（2013）以及Guo,Ning和Wu（2018）等证明.本章,我们证明了在端点情形c=2（?）时,孤立波解是不稳定的.第四章研究非线性Schrodinger方程适定性和散射性.非线性Schrodinger方程写为i（?）tu+Δu=μ|u|pu,（t,x）∈ R1+2,其中μ=±1,p>0.我们证明了若函数,f∈Hs0（R2）（s0<sc）,径向对称且支集远离原点,则存在输入和输出分解f=f++f-,使得以输入部分f+（输出部分f-）为初始值的解在向前（向后）时间内导致局部适定性和小初值散射.第五章研究二维半耗散Boussinesq方程在无应力边界条件下经典解的长时间性态.在Doering,Wu,Zhao和Zheng（2018）工作的基础上,建立了另一种证明方法.为验证新方法的有效性,我们研究了具有密度方差且服从无流动边界条件的相关模型的初边值问题的大初值经典解的长时间性态.
陈利国[5]（2020）在《大气和海洋中两类非线性孤立波模型研究》文中研究说明对于大气和海洋运动,由于受地球旋转和重力的作用,存在着两类重要的非线性波动,即大尺度非线性Rossby孤立波和中尺度非线性重力孤立波.大气和海洋运动许多动力学问题可归结为这两类孤立波的演化问题.同时,孤立波在实际大气和海洋运动中受到基本流、地形、耗散和外源等多物理因素的影响.因此,建立多物理因素作用下非线性孤立波振幅所满足的数学模型来研究孤立波演化机制具有重要理论意义.本文一方面基于大尺度大气和海洋运动中的准地转位涡理论模型,包括正压、斜压和两层模型,采用多重尺度法和小参数摄动展开法,建立了刻画多物理因素作用下非线性Rossby孤立波演化的（1+1）维、（2+1）维模型以及在两层流体中耦合模型.利用各种不同方法对模型进行解析求解或近似计算,深入研究了非线性Rossby孤立波的演化机制.另一方面,基于大气运动基本动力学方程组,利用弱非线性理论,得到了基本气流作用下非线性代数重力孤立波的（2+1）维模型,揭示了飑线天气现象形成的机制.研究内容在一定程度上解释了大气和海洋中非线性Rossby孤立波和重力孤立波在直线或平面上传播和演化,为天气现象、天气预报和气象动力提供理论依据.首先,从推广beta平面近似下的正压准地转位涡方程出发,考虑了基本剪切流、地形、耗散和外源因素作用,利用约化摄动法,获得了Rossby孤立波振幅所满足的耗散和外源强迫下的非线性Boussinesq模型、耗散和缓变地形作用下的强迫修正Korteweg-de Vries（fmKdV）模型、新的推广（2+1）维mKdV-Burgers模型以及beta效应下新的（2+1）维耗散Boussinesq模型.针对不同模型运用修正Jacobi椭圆函数展开法、修正双曲函数展开法、广义形变映射法和辅助方程法得到了孤立波解.基于获得的非线性演化模型和孤立波解,研究了Rossby孤立波在不同物理因素作用下的形成和演变机制.其次,在推广beta平面近似下,基于斜压准地转位涡方程,利用多重尺度法和摄动展开法,建立了地形和耗散共同作用下的强迫非线性Boussinesq模型,缓变地形和耗散共同作用下的强迫（2+1）维Zakharov-Kuznetsov（ZK）-Burgers模型,它们分别刻画层结流体中的非线性Rossby孤立波在直线和平面上的演化.通过模型分析了孤立波的形成因素和守恒律.利用修正Jacobi椭圆函数展开法、同伦摄动法、最简方程法和修正拟设方法得到了不同因素作用下的孤立波解,进一步研究地形、基本地形、缓变地形和耗散对孤立波演化的影响.再次,研究了两层流体中非线性Rossby孤立波振幅演变的耦合模型.采用两层斜压模式,利用Gardner-M¨orikawa变换和小参数摄动展开法,推导了地形和耗散作用下的耦合非线性mKdV模型.分析了斜压不稳定性的必要条件和影响因素.通过对模型求解讨论了beta效应和Froude数、地形和耗散对孤立波的演化影响.还推导了耦合非线性KdV-mKdV模型,分析得到beta效应和基本流剪切是Rossby孤立波产生重要因素,Froude数是孤立波非线性耦合必要因素,具有耦合效应.运用变分迭代法求解了耦合非线性KdV-mKdV模型的近似解,结合图形模拟,探讨了上下两层流体孤立波的生成和演化过程中波-波相互作用.最后,研究了斜压大气中非线性代数重力孤立波模型,解释飑线天气现象的形成过程.先从斜压大气非静力平衡方程组出发,通过尺度分析、时空多重尺度变换和弱非线性方法,并借助符号运算等方法,得到了（2+1）维整数阶广义Boussinesq-Benjamin-Ono（B-BO）模型方程.然后利用Agrawal方法,借助半逆方法和分数阶变分原理,获得了（2+1）维时间分数阶广义B-BO方程.再通过解析解和守恒律,分析了代数重力孤立波的裂变和飑线形成过程之间的联系.理论上解释了飑线形成机制,为飑线等灾害天气现象预报提供理论依据.
徐传海[6]（2020）在《典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究》文中指出非线性现象是普遍存在于自然界中,而研究非线性现象的非线性科学更是与各种学科都有着紧密联系,很多的复杂问题都可以用非线性系统建立模型,从而对非线性系统的研究就显得格外重要。孤立子理论是非线性研究中的重要的一支,是当今非线性学科的热门内容和课题。对非线性系统孤立波解的研究有助于人们理解系统里的运动变化,从而揭示现象背后的本质规律,在物理学和工程技术领域体现了极大的应用价值。在过去的几十年里,随着计算机硬件和软件技术的发展,在应用数学和工程领域的研究方法得到了创新,我们的计算能力得到了很大的提升,绘图能力也得到了加强,可以全方位、多角度的去观察,也可以深入图像的局部进入微观领域中。这也很大程度地提高了关于非线性演化方程的求解和绘图能力,使我们在对孤立子的研究上走的更深更远。本文研究了非线性色散波方程的精确行波解,运用动力系统理论分叉方法和几何奇异摄动理论,对含有奇异线的非线性演化方程进行了讨论研究,展示了其内部随参数变化的丰富的孤立波解,给出了解的解析表达式,并作出了解的二维和三维图像;同时对时滞扰动下的部分孤波解的稳定性进行了研究,得到了相应的结果。具体工作如下:第一、二章是绪论和基本理论,综述了非线性演化方程的研究背景、研究进展和现状,介绍了孤立子理论及其主要的研究方法和本文采用的动力系统首次积分方法,同时介绍了在精确解的求解过程中经常要用到的椭圆积分函数。第三章研究了含有单奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程,通过时间尺度变换,将奇异行波系统转化为正则动力系统。因为这样的含有单奇异线双组份Degasperis-Procesi方程的典型性,对这个方程进行了最为详细的分析讨论,对其精确孤立波解和图像进行了完全的展示。通过对参数变化范围的讨论,求得了方程含有的丰富的精确行波解,有kink和anti-kink解、compacton解、anti-compacton解、peakon解、valleyon解、周期compacton解、周期anti-compacton解、周期peakon解、周期valleyon解、loop解、anti-loop解、周期loop解、一些无界解以及第二个变量txv),（出现的新型的不连续解及其周期解等。这些解的动力学性质和参数所满足的条件相对应,在参数连续变化过程中,可以看出解进行了怎样的对应变化。第四章从定性角度研究了含有双奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程的行波解,这时的首次积分已不再是有理形式,我们借助于微分方程定性理论,将奇异系统转化为正则系统,根据双组份DP方程正则系统的相图轨道的定性性质,判断出方程含有的丰富的孤立波解,包括尖波解、光滑周期波解、正圏孤子解、周期圏孤子解、光滑的峰形孤立波解、无界解等,并且在参数取一些特殊值的条件下,求出了孤立波解的精确表达式。第五章研究了广义浸入色散K（2,2）方程的行波解,运用动力系统理论分叉方法,分析其动力学性质,对系统的相图轨道进行讨论,得到了浸入色散K（2,2）方程的圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时通过系统的动力学行为,对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,得出了在不同参数变化时,周期尖波解和光滑孤立波解的变化,它们共同向尖峰孤立波解转变。最后与其他参考文献结论的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第六章研究了广义色散Degasperis-Procesi方程的行波解,通过动力系统理论分叉方法,对系统的相图轨道进行分析,得到了广义色散Degasperis-Procesi方程的丰富的精确解,像圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,最后通过解的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第七章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的扭结波和反扭结波解的存在性,在分布延迟核是强核时,将具有时滞扰动的方程转化为一个无延迟的四维常微分系统。由于时滞系数?足够小,四维常微分系统是一个标准奇异摄动系统。通过奇异摄动理论,结合Melnikov函数方法证明了时滞Schr?dinger方程在（27）（27）（27）?10,（10）-（28）Oc）(1?条件下存在扭结波和反扭结波解。第八章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的周期波解的存在性,通过奇异摄动理论和Melnikov函数方法,结合数学计算软件证明了时滞Schr?dinger方程存在周期波解。第九章对全文进行了总结,并提出了展望。
刘治国[7]（2020）在《非线性声子晶体中的孤立波及其稳定性分析》文中进行了进一步梳理声波和弹性波在非线性声子晶体中的传播引起了人们极大的关注,因为对这些动力学行为的理解不仅可提供实现非线性现象（如孤立子）的有效途径,而且还提供一个强大的工具来控制非线性波。众所周知,孤立子是一种孤立波,它具有像“粒子”一样的动力学行为,并且可以稳定地传播。孤立波被证明是传递振动的理想方法。声子孤立子的发现在非线性声子晶体的研究中被证明是非常重要的,非线性声子晶体在许多领域显示了潜在应用。本文针对预压缩一维单/双原子球链和一维非线性层状声子晶体进了研究。论文的主要内容和结论包括:⑴通过引入空间运动坐标和时间慢变换,将预压缩单原子球链小变形长波长控制方程转化为Kd V方程,该方程包含了原系统的物理和几何参数。利用Hirota双线性方法结合齐次平衡法求解Kd V方程获得了单孤立波和多孤立波解析解。通过研究解的几何结构和动力学特性发现,多孤立波可看作是单孤立波的相互作用（碰撞）,在若干极限区域可看作是单孤立波的“叠加”,这为利用单孤立波激发多孤立波提供了思路。进一步依据微扰分析的思想,利用分步傅里叶法数值考查了Kd V方程单孤立波和双孤立波解的稳定性,结果表明:单孤立波和双孤立波均是稳定的。论文还提出孤立子的存在条件是系统存在稳定的双孤立波本征模态。⑵对于单原子链小变形长波长连续性方程的孤立波解析解求解本文提出了两种方法。一种是基于上述关于Kd V方程解的几何结构和动力学特性分析,构造暗孤立波解析解,其中单孤立波解为精确解;另一种则是利用Hirota双线性法结合齐次平衡法直接求解连续性方程,得到亮孤立波解析解,并进一步导出相应的暗孤立波解。两种方法获得的单孤立波解完全一致;多孤立波解形式相同,仅系数在很小的特定区域存在差别。其中后一种方法得到的解适应范围更广,数学推演更严谨。而且论文还利用后一种方法得到了若干其他形式的非线性弹性波解析解,包括双曲-三角函数解、三角函数解、双曲函数解和有理函数解等。⑶依据微扰分析的思想,分别利用分步傅里叶法和龙格-库塔法针对单原子链和双原子链小变形长波长连续性方程、小变形离散方程和原始系统方程的孤立波传播稳定性进行了数值模拟和分析,结果表明:系统可以传播稳定的单孤立波和由相向运动的单孤立波碰撞形成的双孤立波（本文称为第一类双孤立波）;没有发现存在稳定的由同向运动的单孤立波碰撞形成的双孤立波（本文称为第二类双孤立波）以及更高阶的多孤立波。另外还对稳定多孤立波存在的条件进行了定性分析并指出,任意两个单孤立波的夹角越接近o90越有可能获得稳定的多孤立波,这可能是只有稳定的第一类双孤立波,其他多孤立波都不稳定的原因。⑷依据微扰分析的思想,利用有限体积法,研究了非线性层状声子晶体中非线性波的动力学演化,结果表明:系统中存在稳定传播的单孤立波和第一类双孤立波,但没有发现稳定的其他形式的多孤立波。系统中引入线性层可改变孤立波的宽度、个数和速度。数值模拟显示:非线性层状声子晶体中的孤立波遇到低阻抗线性均匀介质时大部分能量将透过分界面传播,且波形变得较平滑;当遇到高阻抗线性均匀介质时大部分能量被分界面反射。据此,本文设计了一种非线性声子晶体束缚腔,可捕获非线性弹性波携带的能量。本文针对非线性声子晶体中弹性波的研究,为弹性波操控提供了重要的理论指导,为新型弹性波器件的设计提供了理论基础。
刘娜[8]（2020）在《非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究》文中提出本文研究了在流体力学、凝聚态物理、等离子体物理和非线性光学中有重要应用的几类非线性偏微分方程的可积性、非线性波及其相互作用解.主要开展了四方面的工作:利用经典李群方法研究了变系数非线性偏微分方程的精确解和守恒律;应用Bell多项式研究了高维非线性偏微分方程的双线性形式以及利用长波极限方法构造其非线性波;基于方程的双线性形式和三波法构造了非线性偏微分方程的多孤子解;通过Hirota双线性方法和函数拟设法构造了非线性偏微分方程的lump解及相互作用解.具体内容如下:第一章是绪论部分.详细介绍了对称理论、可积性理论和非线性波的研究背景,发展现状及相关理论,并简要叙述了本文的主要研究内容.第二章,基于经典李群方法,研究了两类变系数非线性偏微分方程.首先,通过引入合适的势变换,将（2+1）-维变系数非线性薛定谔（NLS）方程转化为变系数的耦合系统,并通过经典李对称分析得到相应的向量场和最优系统.利用相似约化,得到了四组（1+1）-维非线性偏微分方程组,并结合辅助方程方法和G’/G-展开法给出了精确解.同时,借助Ibragimov提出的新守恒定理构造了守恒律.其次,得到了（1+1）-维变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）方程的李点对称和最优系统.利用相似约化得到了五组常微分方程组,通过辅助方程方法得到了幂级数解,行波解和非行波解.第三章,通过双Bell多项式方法和Hirota双线性方法,研究了（3+1）-维B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程的双线性形式、非线性波和相互作用解.借助Bell多项式理论得到了 BKP方程的Hirota双线性方程,通过引入变换的技巧,构造了两种类型的双线性Backlund变换和对应的Lax对.运用所得到的双线性方程,构造了 BKP方程的N-孤子解.将长波极限法作用于N-孤子解,得到了 BKP方程的呼吸子、lump波、怪波以及这些非线性波之间的相互作用解.第四章,基于Hirota双线性方法、同宿测试方法和三波法,研究了（3+1）-维非线性发展（NEE）方程和（3+1）-维BKP方程的多孤子解.通过Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 NEE方程的两种类型的扭结呼吸孤子解.利用三波法得到了NEE方程和BKP方程的多孤子解,包括扭结呼吸2-孤子解,扭结周期2-孤子解,双周期孤立波解和3-孤子解第五章,基于Hirota双线性方法和函数拟设法,研究了（3+1）-维KdV-型方程和KP-Boussinesq-like方程的呼吸子解,怪波解,lump解和相互作用解.结合Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 KdV-型方程的同宿呼吸波解,对得到的呼吸波解运用长波极限方法,得到了方程的怪波解.利用函数拟设法,得到了KdV-型方程的相互作用解,包括lump波与线孤子,扭结孤子和周期函数之间的相互作用解.同时,得到了KP-Boussinesq-like方程的lump解,lump与线孤子、扭结孤子之间的相互作用解.第六章,概述了本文的主要工作,并对将来的研究工作进行了展望.
饶瑞文[9]（2019）在《时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究》文中研究表明在分数阶非线性偏微分方程的精确解的求解研究中符号计算系统扮演重要作用。本文借助Maple这一符号计算软件来精简分数阶非线性偏微分方程求解中的大量微分和代数运算,完成了他们的精确解求解,画出了对应的三维图像。Maple内置了丰富的数学符号计算工具及图形演化绘制工具。精确解图像的绘制可以更加直观的帮助我们来分析非线性模型,更好的了解其性质。随着对自然现象的深入研究,普通非线性模型已经不能满足研究所需,从而分数阶微积分与分数阶非线性偏微方程得到了广泛应用。本文介绍了分数阶微积分3种常用定义:Caputo 定义,Grunwald-Letnikov 定义,Riemann-Liouville 定义,以及结合了上述定义的优点的Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数定义。本文主要运用Li和He提供的分数阶复变换,借助Gamma函数及Jumarie的修正Riemann-Liouville分数阶导数定义来将分数阶非线性偏微分方程转化为整数阶偏微分方程来求解。故而许多常数阶常微分方程的求解方法可用于分数阶偏微分方程。例如Backlund变换法,Riccati方程法,齐次平衡法,指数函数法,辅助方程法等。本文主要以时空分数阶Burgers方程簇中的两个最常用的经典方程:时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程为研究对象,研究了扩展到负指数幂的exp函数展开法与（G’/G,1/G）-展开法在分数阶非线性偏微分方程精确解求解中的应用。并且得到了时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程的单波解,双曲函数解,三角函数解,有理函数解。通过对方程的若干行波解中的参数赋值,得到了 M型、周期型、单扭结型、反扭结型、奇异扭结型等多种特殊的孤立波的三维图。最后,将本文中使用的两种求解方法与其他求解方法进行了比较,分析了它们的优缺点。
胡凯丽[10]（2019）在《几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究》文中进行了进一步梳理众所周知,线性现象简单且容易理解,实际上,在客观世界中,非线性现象才是普遍存在的自然现象,如天气变化、股市波动、水波运动、粒子运动等。为了更加准确地描述这些非线性现象,科学家们对其进行数学建模,得到一系列关于非线性现象的非线性模型,通过对这些模型进行深入研究和分析,从而了解非线性现象的本质和规律。从数学的角度分析,依据非线性现象建立的模型是非线性方程,我们可以通过寻求方程的解来探究模型所刻画现象的内在规律。由于非线性现象涉及多个学科领域,对它们进行研究和分析,逐渐形成了一门全新学科,即非线性科学。近些年来,各界学者对非线性科学的研究有了新的突破,特别是在信息处理和生态环境等领域,非线性科学不但促进了不同学科之间的交叉融合,而且也加快了各学科的发展。本文的工作主要包括以下几个方面:首先概述了非线性科学的起源和发展,介绍了孤立波的发现及发展历程,介绍了符号计算软件Maple及其相关命令。其次,研究了几个非线性偏微分方程的求解方法,并将其归结为两类求解思想,基于每种思想,分别给出了具有代表性的求解方法。接着,对传统的（G’/G2）-展开法做了两个方面的改进,一是将解的幂级数的下限由零改为负数,二是将该方法扩展到三维及以上的非线性系统,得到了新的扩展的（G’/G2）-展开法,利用扩展的（G’/G2）-展开法求解了 BBM方程和（2+1）维BBM方程,从解的形式上分析,得到了三种不同类型的精确解,当取双曲函数通解中的常数为特殊值时,得到了其钟形和反钟形孤立波解。最后,利用指数函数法求解了具有重要物理意义的正则长波方程（RLW方程）和KdV-Burgers方程,得到了方程的孤立波解。
二、新的辅助方程与非线性发展方程的孤立波解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、新的辅助方程与非线性发展方程的孤立波解（论文提纲范文）
（1）关于几类非线性波方程的精确行波解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的发展历史 |
| 1.2 非线性波方程的求解方法简介 |
| 1.3 本文主要工作及研究成果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 微分方程与动力系统 |
| 2.2 行波解的几种类型 |
| 2.3 奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 第三章 广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.21)的相图分支 |
| 3.2.1 g_1=0的情形 |
| 0的情形'>3.2.2 g_1>0的情形 |
| 3.3 系统(3.21)的行波解分类及其精确表达式 |
| 3.3.1 系统(3.21)的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 3.3.2 系统(3.21)的孤立尖波解和反孤立尖波解 |
| 3.3.3 系统(3.21)的周期尖波解 |
| 3.3.4 系统(3.21)的破缺波解 |
| 3.3.5 系统(3.21)的光滑周期波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.7)的相图分支 |
| 4.2.1 f(Φ)有一个单根的情形 |
| 4.2.2 f(Φ)有一个重根的情形 |
| 4.2.3 f(Φ)有三个单根的情形 |
| 4.2.4 特殊情形a_0=0 |
| 4.3 系统(4.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 4.3.1 系统(4.7)的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 4.3.2 系统(4.7)的孤立波解、周期尖波解和孤立尖波解 |
| 4.3.3 系统(4.7)的光滑孤立波解和破缺波解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 非局域流体动力学方程的分支和精确行波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.4)的相图分支 |
| 5.2.1 系统(5.4a)的相图分支 |
| 5.2.2 系统(5.4b)的相图分支 |
| 5.3 系统(5.4)的行波解分类及其精确表达式 |
| 5.3.1 系统(5.4)的光滑孤立波解和周期波解 |
| 5.3.2 系统(5.4)的周期尖波解和伪孤立尖波解 |
| 5.3.3 系统(5.4)的破缺波解 |
| 5.3.4 系统(5.4)的不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 分数阶mKdV方程的分支和精确行波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 系统(6.7)的相图分支 |
| 6.3 系统(6.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 6.3.1 系统(6.7)的光滑周期波解 |
| 6.3.2 系统(6.7)的扭波和反扭波解 |
| 6.3.3 系统(6.7)的孤立波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（2）贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究内容 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.3.1 Hirota双线性导数 |
| 1.3.2 Bell多项式理论 |
| 第2章 两类(3+1)维广义非线性发展方程的新解 |
| 2.1 两类(3+1)维广义非线性发展方程及其背景 |
| 2.2 (3+1)维广义KdV-type方程的新解及其分析 |
| 2.2.1 N-孤子解 |
| 2.2.2 Lump解与解的性质 |
| 2.2.3 Lump扭结解与解的性质 |
| 2.2.4 Lump孤子解与解的性质 |
| 2.3 (3+1)维广义KdV-type方程的新解与解的相互作用 |
| 2.3.1 双扭结解与解的相互作用 |
| 2.3.2 呼吸解与解的相互作用 |
| 2.3.3 多波解与解的相互作用 |
| 2.4 (3+1)维广义非线性发展方程的高阶Lump解及其相互作用 |
| 2.4.1 双线性形式与B?cklund变换 |
| 2.4.2 高阶Lump解及其相互作用 |
| 2.4.3 高阶Lump孤子N-M型叠加解 |
| 2.5 (3+1)维广义非线性发展方程的周期型叠加解 |
| 2.5.1 周期扭结N-M型叠加解 |
| 2.5.2 周期孤子N-M型叠加解 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 两类(4+1)维非线性发展方程的新精确解 |
| 3.1 考虑的高维非线性发展方程及其背景 |
| 3.2 (4+1)维KdV-like方程的可积性与相关问题研究 |
| 3.2.1 双线性形式 |
| 3.2.2 B?cklund变换与Lax对 |
| 3.2.3 无穷守恒律 |
| 3.3 (4+1)维KdV-like方程的高阶Lump解与解的相互作用 |
| 3.3.1 高阶Lump解 |
| 3.3.2 高阶Lump扭结N型叠加解 |
| 3.3.3 高阶Lump-cosh-N-cos-M型叠加解 |
| 3.4 (4+1)维KdV-like方程不同函数叠加的解 |
| 3.4.1 Exp-cosh-N-cos-M型叠加解 |
| 3.4.2 Exp-tanh-N-sin-M型叠加解 |
| 3.5 构造(4+1)维BLMP方程新解的定理及其应用 |
| 3.5.1 Lump扭结波解 |
| 3.5.2 Lump孤立波解 |
| 3.6 (4+1)维BLMP方程的周期型叠加解与复合型叠加解 |
| 3.6.1 周期型叠加解 |
| 3.6.2 复合型叠加解 |
| 3.7 本章小结 |
| 第4章 三类高维变系数非线性发展方程的多种新解 |
| 4.1 研究的三类高维变系数非线性发展方程与其它方程的关系 |
| 4.2 (3+1)维变系数DJKM方程的多种新解及其性质 |
| 4.2.1 呼吸扭结波解与解的性质 |
| 4.2.2 怪波解与解的性质 |
| 4.2.3 三孤立波解与解的性质 |
| 4.3 (3+1)维变系数BLMP方程的几种新解与解的相互作用 |
| 4.3.1 呼吸扭结波解与解的相互作用 |
| 4.3.2 三孤立波解与解的相互作用 |
| 4.4 (3+1)维变系数BLMP方程不同函数叠加的解 |
| 4.4.1 Lump-N-cosh-M-sin-L型叠加解 |
| 4.4.2 Tanh-N-cosh-M-cos-L型叠加解 |
| 4.4.3 不同函数的复合型解 |
| 4.5 (2+1)维变系数BLMP-BK方程的新解 |
| 4.5.1 N-孤子解 |
| 4.5.2 Lump N-孤子解与解的相互作用 |
| 4.5.3 不同函数的复合型解 |
| 4.5.4 不同函数的有理解 |
| 4.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 |
| 附录2 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（3）高次b方程的非线性波解与分支问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子的发现及其研究现状 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.3 辅助知识 |
| 1.3.1 平面系统定性理论 |
| 1.3.2 动力系统分支方法 |
| 1.3.3 双曲函数与椭圆函数 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 当b=0时,高次b方程孤立波解与周期波解 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.1.1 n=2v时孤立波解与周期波解 |
| 2.1.2 n＝2v+1时孤立波解与周期波解 |
| 2.2 命题2.1-2.4的证明 |
| 2.2.1 预备工作 |
| 2.2.2 孤立波和周期波的存在性及其表达式 |
| 2.2.3 性质A、B、C的证明 |
| 2.3 命题2.5-2.7的证明 |
| 2.3.1 预备工作 |
| 2.3.2 孤立波和周期波的存在性及其隐式解 |
| 2.4 本章小结 |
| 1时,高次b方程行波解及其分支研究'>第三章 当b>1时,高次b方程行波解及其分支研究 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 主要结论的证明 |
| 3.2.1 行波系统与首次积分 |
| 3.2.2 奇点与分支曲线 |
| 3.2.3 分支相图 |
| 3.2.4 行波解的表达式 |
| 3.3 本章小结 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 主要结论的证明 |
| 4.2.1 预备工作 |
| 4.2.2 周期波解及其表达式 |
| 4.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（4）几类非线性偏微分方程的长时间性态研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 综述 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 广义Boussinesq方程孤立波解的稳定性理论 |
| 1.3 广义导数非线性Schr(?)dinger方程孤立波解的稳定性理论 |
| 1.4 非线性Schr(?)dinger方程的粗糙解 |
| 1.5 二维半耗散Boussinesq方程的长时间性态 |
| 第二章 广义Boussinesq方程退化情形的孤立波解的不稳定性 |
| 2.1 基本定义和性质 |
| 2.2 强制性 |
| 2.3 调制稳定性 |
| 2.4 参数的动力学行为 |
| 2.5 局部化的维里恒等式 |
| 2.6 证明定理1.2.1 |
| 2.6.1 维里恒等式 |
| 2.6.2 I'(t)的结构 |
| 2.6.3 主要部分的正性 |
| 2.6.4 ‖(?) |_(H~1×L~2)的上界 |
| 2.6.5 证明 |
| 第三章 广义导数非线性Schr(?)dinger方程端点情形孤立波解的不稳定性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 记号 |
| 3.1.2 基本引理 |
| 3.1.3 变分方法 |
| 3.2 负方向和调制性 |
| 3.3 证明定理3.0.1 |
| 3.4 补充证明 |
| 第四章 二维非线性Schr(?)dinger方程的粗糙解 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.1.1 记号 |
| 4.1.2 基本引理 |
| 4.1.3 线性Schr(?)dinger算子 |
| 4.2 输入/输出波 |
| 4.2.1 输入/输出波的定义 |
| 4.2.2 输入/输出函数的基本性质 |
| 4.3 证明定理4.0.1 |
| 4.3.1 修正的输入/输出部分的定义 |
| 4.3.2 证明 |
| 第五章 二维半耗散Boussinesq方程的长时间性态 |
| 5.1 命题5.0.1的简化证明 |
| 5.2 证明定理5.0.1 |
| 5.2.1 一致估计 |
| 5.2.2 ‖u(·,t)‖_(H~1)和‖(?)_tu(·,t)‖的衰减 |
| 5.2.3 高阶正则性 |
| 结论 |
| 展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（5）大气和海洋中两类非线性孤立波模型研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 非线性Rossby孤立波模型研究 |
| 1.2.2 非线性重力孤立波模型研究 |
| 1.2.3 孤立波分数阶模型与方法研究 |
| 1.2.4 非线性偏微分方程求解方法研究 |
| 1.3 本文研究方法、内容与结论 |
| 第二章 正压流体中多物理因素作用下的非线性Rossby孤立波模型 |
| 2.1 引言及预备知识 |
| 2.2 外源和耗散作用下非线性Rossby孤立波模型 |
| 2.2.1 模型推导与方法 |
| 2.2.2 模型求解 |
| 2.2.3 模型解释与结论 |
| 2.3 缓变地形作用下非线性Rossby孤立波模型 |
| 2.3.1 模型推导与方法 |
| 2.3.2 模型求解 |
| 2.3.3 模型解释与结论 |
| 2.4 推广beta效应和耗散作用下(2+1)维非线性Rossby孤立波模型 |
| 2.4.1 模型推导与方法 |
| 2.4.2 模型求解 |
| 2.4.3 模型解释与结论 |
| 2.5 beta效应和基本剪切流作用下(2+1)维非线性Rossby孤立波模型 |
| 2.5.1 模型推导与方法 |
| 2.5.2 模型求解 |
| 2.5.3 模型解释与结论 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 层结流体中多物理因素作用下的非线性Rossby孤立波模型 |
| 3.1 引言及预备知识 |
| 3.2 地形和耗散作用下非线性Rossby孤立波模型 |
| 3.2.1 模型推导与方法 |
| 3.2.2 模型求解 |
| 3.2.3 模型解释与结论 |
| 3.3 缓变地形和耗散作用下(2+1)维非线性Rossby孤立波模型 |
| 3.3.1 模型推导与方法 |
| 3.3.2 模型求解 |
| 3.3.3 模型解释与结论 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 两层流体中非线性Rossby孤立波耦合模型 |
| 4.1 引言及预备知识 |
| 4.2 地形和耗散作用下非线性Rossby孤立波耦合mKdV模型 |
| 4.2.1 模型推导与方法 |
| 4.2.2 耦合mKdV模型线性稳定性分析 |
| 4.2.3 模型求解 |
| 4.2.4 模型解释与结论 |
| 4.3 beta效应和基本剪切流作用下非线性Rossby孤立波耦合KdV-mKdV模型 |
| 4.3.1 模型推导与方法 |
| 4.3.2 模型求解 |
| 4.3.3 模型解释与结论 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 斜压大气中非线性重力孤立波模型及飑线天气现象形成机制研究 |
| 5.1 引言及预备知识 |
| 5.2 斜压大气中基本气流作用下(2+1)维非线性重力孤立波模型 |
| 5.2.1 模型推导与方法 |
| 5.2.2 模型解释 |
| 5.3 (2+1)维时间分数阶广义B-BO模型 |
| 5.3.1 模型推导与方法 |
| 5.3.2 模型求解 |
| 5.4 重力孤立波的裂变与飑线天气现象形成机制的理论分析 |
| 5.4.1 代数重力孤立波的守恒律 |
| 5.4.2 重力孤立波的裂变 |
| 5.4.3 飑线天气现象形成机制的理论分析 |
| 5.5 小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 攻读学位期间已发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的科研项目 |
| 攻读学位期间获得的奖励 |
| 致谢 |
（6）典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展和现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 基本理论 |
| 2.1 孤立子理论中的主要研究方法 |
| 2.2 动力系统分叉理论的研究方法 |
| 2.3 椭圆函数 |
| 第三章 双组份α-DP方程(单奇异线)的孤立波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 3.3 相图分叉及行波解 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 双组份α-DP方程(双奇异线)的孤立波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 4.3 相图分叉及行波解 |
| 4.3.1 相图与行波解的判定 |
| 4.3.2 特殊条件下行波解的精确表达式 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 广义浸入色散K(2,2)方程的孤立波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 首次积分与分支曲线 |
| 5.3 相图分析和各类行波解 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 广义色散项的DP方程的孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 首次积分与分支曲线 |
| 6.3 相图分析和各类行波解 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 Schr?dinger方程在时滞扰动下扭波及反扭波解的稳定性 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 未扰系统的行波解 |
| 7.3 时滞扰动方程孤立波解的存在性 |
| 7.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 7.3.2 Melnikov函数的计算以及异宿轨的扰动存在性 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 Schr?dinger方程在时滞扰动下周期解的稳定性 |
| 8.1 引言与预备知识 |
| 8.2 未扰系统的行波解 |
| 8.3 时滞扰动方程周期波解的存在性 |
| 8.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 8.3.2 Melnikov函数的计算以及周期轨的扰动存在性 |
| 8.4 小结 |
| 第九章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
（7）非线性声子晶体中的孤立波及其稳定性分析（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 非线性声子晶格结构 |
| 1.3 颗粒声子晶体 |
| 1.3.1 一维单原子颗粒声子晶体 |
| 1.3.2 一维多原子颗粒声子晶体 |
| 1.3.3 二维和三维颗粒声子晶体 |
| 1.4 一维非线性层状声子晶体 |
| 1.5 本文的研究目的和研究内容 |
| 1.5.1 本文的研究目的 |
| 1.5.2 本文的研究内容 |
| 2 求解非线性波的若干方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非线性波的解析求解方法 |
| 2.2.1 扩展的G'/G-展开法概述 |
| 2.2.2 求解离散非线性微分-差分方程的扩展G'/G-展开法 |
| 2.2.3 非线性发展方程的Hirota双线性求解方法 |
| 2.3 非线性波的数值计算方法 |
| 2.3.1 龙格-库塔法 |
| 2.3.2 分步傅里叶法(SSFT) |
| 2.3.3 有限体积法及软件Clawpack |
| 2.4 本章小结 |
| 3 预压缩单原子球链声子晶体中KdV方程的推导及多孤立波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 球状颗粒链模型及KdV方程的推导 |
| 3.3 KdV方程的求解 |
| 3.4 KdV方程孤立波解的动力学行为分析 |
| 3.5 孤立波解的稳定性分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 预压缩单原子球链声子晶体的多孤立波解构建及其稳定性分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 长波长近似连续方程的多孤立波解析解构建 |
| 4.2.1 单孤立波精确解 |
| 4.2.2 多孤立波近似解 |
| 4.3 多孤立波解的稳定性分析 |
| 4.3.1 小变形方程中暗孤立波解的稳定性分析 |
| 4.3.2 原始方程中暗孤立波解的稳定性分析 |
| 4.3.3 弱压缩颗粒链中的稳定单孤立波 |
| 4.3.4 怪波解及其稳定性分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 预压缩单原子球链声子晶体的若干非线性波解析解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 多孤立波解析解 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 双曲周期波解 |
| 5.5 周期波解、双曲函数解和有理函数解 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 预压缩双原子球链声子晶体中孤立波的动力学行为和稳定性分析 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 双原子球链声子晶体的控制方程 |
| 6.3 单孤立波解的稳定性分析 |
| 6.4 双孤立波解的稳定性分析 |
| 6.5 多孤立波解的稳定性分析 |
| 6.6 本章小结 |
| 7 非线性层状声子晶体中孤立波的动力学行为分析 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 非线性层状声子晶体的控制方程 |
| 7.3 单孤立波列的数值分析 |
| 7.4 双孤立波列的数值分析 |
| 7.5 孤立波列与非线性声子晶体/线性均匀介质分界面的碰撞 |
| 7.6 非线性声子晶体束缚腔 |
| 7.7 本章小结 |
| 8 结论与展望 |
| 8.1 结论 |
| 8.2 创新点 |
| 8.3 进一步工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（8）非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 可积性理论的研究背景 |
| §1.2 非线性波的研究背景 |
| §1.3 预备知识 |
| §1.4 论文的内容安排 |
| 第二章 变系数非线性偏微分方程的对称、精确解和守恒律 |
| §2.1 (2+1)-维变系数NLS方程的对称、精确解和守恒律 |
| §2.2 (1+1)-维变系数AKNS方程的对称约化和精确解 |
| §2.3 本章小结 |
| 第三章 (3+1)-维BKP方程的Backlund变换、非线性波和相互作用解 |
| §3.1 BKP方程的双线性形式 |
| §3.2 BKP方程的双线性Backlund变换和Lax对 |
| §3.3 BKP方程的非线性波与相互作用解 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 基于双线性形式的非线性偏微分方程的多孤子解 |
| §4.1 (3+1)-维NEE方程的多孤子解 |
| §4.2 (3+1)-维BKP方程的多孤子解 |
| §4.3 本章小结 |
| 第五章 高维非线性偏微分方程的lump解及相互作用解 |
| §5.1 (3+1)-维KdV-型方程的lump解及相互作用解 |
| §5.2 (3+1)-维KP-Boussinesq-like方程的lump解及相互作用解 |
| §5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| §6.1 本文总结 |
| §6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表论文与研究成果清单 |
| 致谢 |
（9）时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 背景 |
| 1.1 非线性科学 |
| 1.2 非线性偏微分方程 |
| 1.3 孤立波与KdV方程 |
| 1.4 论文主要工作 |
| 第2章 分数阶微积分 |
| 2.1 分数阶导数由来及发展 |
| 2.2 几类重要的分数阶导数 |
| 2.3 分数阶偏微分方程 |
| 2.4 分数阶复变换 |
| 2.5 分数阶偏微分方程的求解方法 |
| 2.5.1 B(?)cklund变换法 |
| 2.5.2 Riccati方程法 |
| 2.5.3 齐次平衡法 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 拓展的exp函数展开法及其应用 |
| 3.1 拓展的exp函数展开法 |
| 3.2 exp函数展开法求解时空分数阶Burgers方程 |
| 3.3 exp函数展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 (G'/G,1/G)-展开法及其应用 |
| 4.1 (G'/G,1/G)-展开法 |
| 4.2 (G'/G,1/G)-展开法求解时空分数阶Burgers方程 |
| 4.3 (G'/G,1/G)-展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程 |
| 4.4 不同求解方法的比较 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
（10）几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学的研究背景与意义 |
| 1.1.1 从线性科学到非线性科学 |
| 1.1.2 非线性科学的研究意义 |
| 1.2 孤立波及其发展 |
| 1.3 符号计算系统 |
| 1.4 论文章节安排 |
| 第二章 非线性偏微分方程及其求解方法 |
| 2.1 非线性偏微分方程 |
| 2.2 非线性偏微分方程精确解研究现状 |
| 2.3 非线性偏微分方程求解方法 |
| 2.3.1 基于经验的精确解的假设求解方法 |
| 2.3.2 基于非线性变换的精确解求解方法 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解非线性模型的扩展的(G'/G~2)-展开法 |
| 3.1 扩展的(G'/G~2)-展开法 |
| 3.2 BBM方程的精确解 |
| 3.3 (2+1)维BBM方程的精确解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 指数函数法及其应用 |
| 4.1 指数函数法 |
| 4.2 正则长波方程的精确解 |
| 4.3 KdV-Burgers方程的精确解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
四、新的辅助方程与非线性发展方程的孤立波解（论文参考文献）
- [1]关于几类非线性波方程的精确行波解研究[D]. 梁建莉. 浙江师范大学, 2021(02)
- [2]贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究[D]. 韩鹏飞. 内蒙古师范大学, 2021(08)
- [3]高次b方程的非线性波解与分支问题研究[D]. 杨佼朋. 华南理工大学, 2020(05)
- [4]几类非线性偏微分方程的长时间性态研究[D]. 李冰. 天津大学, 2020(01)
- [5]大气和海洋中两类非线性孤立波模型研究[D]. 陈利国. 内蒙古大学, 2020(01)
- [6]典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究[D]. 徐传海. 江苏大学, 2020(01)
- [7]非线性声子晶体中的孤立波及其稳定性分析[D]. 刘治国. 北京交通大学, 2020
- [8]非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究[D]. 刘娜. 山东师范大学, 2020(03)
- [9]时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究[D]. 饶瑞文. 陕西师范大学, 2019(06)
- [10]几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究[D]. 胡凯丽. 陕西师范大学, 2019(06)