解析几何常见求异思维探究

解析几何常见求异思维探究

江苏省宜兴市官林中学214200

摘要:高中平面解析几何研究的两个主要问题是曲线的方程和曲线的性质。而曲线问题也是学生学习的一个难点,如何帮助学生这个难点,本文从几类常见问题入手,用辩证的观点,避其锋芒,观其对立,求异思维,以达到异曲同工之效,进而捷足先登,使问题的解决最优化。

关键词:中学数学教育数学学习

平面解析几何研究的两个主要问题是:寻求曲线的方程和研究曲线的性质。曲线问题往往离不开“动点”,一般思维模式是抓住“动点”,探求条件,解决问题。若用辩证的观点,避其锋芒,观其对立,求异思维,则不仅有异曲同工之效,而且会捷足先登,使问题的解决最优化。下面就几类常见问题,作浅显分析与说明。

一、动中求静

辩证法告诉我们:运动是绝对的,静止是相对的。解题中要善于利用“相对静止”去研究“绝对运动”。

例1:已知点A(3,0)和圆x2+y2=1,P为圆上任意一点,∠POA的平分线交PA于Q,求Q点的轨迹方程。

分析:由内角平分线,点Q分AP的比λ===3。

通常解法:设P(x1,y1)、Q(x,y),由分点公式得x1=,y2=代入圆方程得Q点的轨迹方程:(x-)2+y2=(y≠0)。

还可以设圆上的点P(cosθ,sinθ),由分点坐标公式建立Q点坐标的参数方程。

从整体看,以A点为位似中心,相对已知圆而言,Q点的轨迹是一个静止的圆,因为λ=3,由位似原理,将AO的内分点O1(,0)为圆心,r1=为半径,立即可得点Q的轨迹方程。

评注:解析几何中求相关点的轨迹,常用代入法。若从整体观察,利用相对原理分析,则动点轨迹就是一条静止曲线,只需要由曲线性质,求出相应不变量,便可写出方程。

二、静中求动

有时把要研究的运动对象静止化,而把相对静止的对象运动化,主次调换可以巧妙地间接求解。

例2:设椭圆长半轴为a,短半轴为b,在第一象限内滚动,且始终与x轴、y轴分别相切,试求椭圆中心O1点的轨迹。

分析:根据相对运动原理,固定椭圆的中心,并使中心为原点、焦点在x轴上,则两条互相垂直的椭圆切线由静止变为运动,易得交点P的轨迹方程是圆x2+y2=a2+b2(也称椭圆的准圆)。

事实上,设P(x0,y0)为切线交点,斜率存在时,切线方程为y=k(x-x0)-y0,代入椭圆方程得(b2+a2k2)x2+2ka2(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)-a2b2=0。由△=0,得到(x02-a2)k2-2x0y0k+y02-b2=0,当k存在且k不为零时,方程两根k1、k2是过P的两切线斜率。因为两切线互相垂直,所以k1·k2=-1,由根与系数的关系,=-1,用x、y换x0,y0,化简得x2+y2=a2+b2;当过P的一条切线垂直于x轴时,则易知两切线交点坐标为(a,b)或(b,a),也满足方程。

由此可知,动点O1与原点O之间的距离是定长a2+b2,故点O1轨迹是圆x2+y2=a2+b2上劣弧(b≤x,y≤a),端点为(a,b)、(b,a)。

评注:这类轨迹问题不多,但间接求解的思维策略却是不可少有的。

三、变中求定

不变中有变,变化中有不变,这是事物运动的规律。不少解析几何问题看起来充满变化,研究对象完全处于运动之中,我们要善于发现所存在着的不变因素,以不变突破整个变化体系。

例3:过曲线y=1-x2上任意一点P作PQ垂直x轴于Q,求证∠OPQ平分线过定点,并求出该定点坐标。

分析:命题提供了定点,设∠OPQ的平分线交y轴于A,因为∠OPA=∠APQ=∠OAP,所以|OA|=|OP|,所以过定点A(0,-1)

评注:这种变化中的不变,往往因隐蔽性而不易发现,这就需要认真观察和分析已知图形,并熟悉一些基本图形的性质。

四、进中求退

当问题顺着条件往下分析不易解决时,退一步去研究与结论关系甚为密切的对象,这也是间接解决问题的常见策略。

五、数中求形

利用问题的几何意义和图形性质,绕开代数运算思路,另辟新径,出奇制胜。

以上所归纳的几个方面的求异思维,足以说明问题的普遍性和方法的常规性,求异不求奇,只是异在决策的灵活性上。因此,加强这种求异思维的训练,能迅速有效地提高学生分析问题和解决问题的实际能力。

标签:;  ;  ;  

解析几何常见求异思维探究
下载Doc文档

猜你喜欢