中国铁路设计集团有限公司300142
摘要：根据三次抛物线和回旋线数学方程，推导了缓和曲线主要参数的计算过程，通过对不同半径、缓和曲线长度情况下切线长T和圆曲线长度Lc的计算，得出（1）采用相同的曲线半径和缓和曲线长时，曲线半径与缓和曲线比值越大，回旋线参数A2与三次抛物线参数C越接近；（2）相同长度的缓和曲线和相同的圆曲线半径，三次抛物线的切线、圆曲线长度较回旋曲线短。
关键词：缓和曲线；三次抛物线；回旋线；曲线长度；坐标
1引言
车辆在曲线路段上行驶会产生离心力，通常在曲线上采用设置超高的办法来克服离心力。曲线半径半径愈小离心力愈大，要求设置的超高也愈大。在曲线和直线之间设置一段过渡的曲线，随着距离的增加，半径逐渐减小，使相应的超高逐渐增大，起到了过渡的作用，这种曲线称缓和曲线。
缓和曲线的类型有很多种，目前广泛采用的缓和曲线有回旋线型、三次抛物线型、七次四项式型、半波正弦型、一波正弦型等。由于回旋线和三次抛物线理论简单、计算方便、现场轨道铺设和养护容易的特点，广泛应用于公路、铁路建设中。本文主要介绍三次抛物线型与回旋线型缓和曲线的计算和主要参数对比分析。
2回旋线型缓和曲线方程
从回旋线的数学定义可知，其曲率半径与曲线上某一点至该曲线起点之距离成反比。即：（1）
A为常数，表征回旋线曲率变化的缓急程度。
图1直线与圆曲线间插入缓和曲线
根据回旋线的特点，曲线上任意点的曲率m可表示为：（1）
在直角坐标系下转角和任意点坐标可表示为：
为缓和曲线上任意点至ZH点的转角；x，y为直角坐标系下任意点P的坐标。
根据幂级展开式可以得到：
舍去不影响精度的项后：
切线长为：
（9）
圆曲线长为：
（10）
其中，分别为缓圆点的坐标、缓和曲线长度和圆曲线长度。
通过以上公式在已知曲线半径、缓和曲线长度情况下，可以快捷计算出缓和曲线上某个里程的坐标。
3三次抛物线型缓和曲线方程
在直线和半径为R的圆曲线间插入长度为三次抛物线，如图1所示建立以抛物线起点（半径无穷大处）ZH点为坐标原点的切线坐标系，三次抛物线的方程为：
（11）
式中：为三次抛物线参数，与抛物线的长度，圆曲线的半径R有关。
设P为抛物线线上任意一点，则P点处的转向角或切线偏角（P点处的切线与ZH点的切线的夹角）为：
（12）
P点处的曲率半径为：
（13）
在实际计算过程中，往往不知道，只知道曲线上P点里程，即曲线弧长l=P点里程-ZH点里程。
在曲线上取微小段dl，根据高等数学微积分，则有
由于积分不可积，采用幂级数展开多项式，舍去不影响精度项，并两端积分后写成方程形式：
（16）
此式为非线性多项式方程，但根据缓和曲线仅为抛物线中一段，一个只对应唯一的x，并且O<x<，采用迭代法得到x后可根据（1）求y。当=Lo时，可求得缓圆点HY的切线坐标（）。
根据（13）可知（17）而在计算时又需要C，依旧采用迭代法，求得与相匹配的C。
带有三次抛物线缓和曲线的圆曲线切线长和圆曲线长公式同公式（9）和（10）。
通过以上公式在采用三次抛物线型缓和曲线时，计算缓和曲线上某点的坐标需要进行复杂的迭代计算。
4算例
从三次抛物线和回旋线计算公式可知，缓圆点相对于ZH点的坐标与角度无关，切线长和圆曲线长度与偏角相关。现以某偏角α为58°24'03.3528"为例，分析不同曲线半径、缓和曲线长度情况下三次抛物线和回旋线型缓和曲线的计算结果。
表1三次抛物线型缓和曲线计算表
表2回旋线型缓和曲线计算表
5结论
（1）当采用相同的曲线半径和缓和曲线长，回旋线常数和三次抛物线常数C接近；曲线半径与缓和曲线比值越大，与C越接近。
（2）目前施工测量点位放样全部采用全站仪极坐标法或GPSRTK，需要求出路线在施工坐标系XOY中的坐标。三次抛物线作为缓和曲线在使用时需要迭代计算得到常数C，和坐标X，Y。
（3）采用回旋线型缓和曲线可根据缓和曲线某点的里程直接计算出该点的坐标。
（4）同样长度的缓和曲线和同样的圆曲线半径，三次抛物线的切线、圆曲线长度要比回旋曲线短。
参考文献：
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